УДК 534. 5: 532.781

К ТЕОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И ПЛАВЛЕНИИ ВЕЩЕСТВА.

Часть II.

Жекамухов М.К., Шокаров X.B.(hasanby(a),mail. ru) Кабардино-Балкарский Государственный Университет

One possible mechanism of the acoustic emission accompanying crystallization and melting of substances has been discussed in paper [1]. It is based on assumption of the skipping character of the solid-liquid interface motion.

The ground idea of another mechanism being discussed here relates the acoustic emission with mutual amplification of the sound waves spreading in solid and liquid under the interface motion. A generation of the high frequency acoustic signals is then explained in natural way, and the amplitudes of these are of the same order of value as the experimental ones.

При кристаллизации (плавлении) жидкостей в ограниченных объемах по обе стороны от границы раздела фаз возникают системы стоячих волн, одна из которых локализована в объеме, занятом жидкостью, другая - в растущем кристалле. Отличительной особенностью этих систем волн является то, что они не связаны известными условиями сопряжения, т.е. требованием, того что перемещения и напряжения на границе раздела фаз должны быть равными. Так, например, при кристаллизации воды образование тонкого слоя льда на границе раздела фаз приводит к раздвижению обеих фаз в разные стороны как бы вбивается клин между жидкостью и кристаллом, т.е. нарушается первое условие сопряжения. Отсюда следует, что при кристаллизации жидкости в трубе, когда фронт кристаллизации движется вдоль трубы, систему кристалл-расплав нельзя рассматривать как составной стержень, состоящий из разнородных материалов.

Возмущение плотности, которые исходят из зоны кристаллизации (плавления) жидкости, распространяются в разные стороны, как в жидкости так и в кристалле. При этом, однако, имеется существенное различие в характере распространения этих волн.

Если ограничиться небольшим промежутком времени, то толщина кристалла H, образующегося при кристаллизации жидкости, заполняющей трубу, намного меньше, чем длина трубы h (H<<h). Поэтому за промежуток времени, в течение которого возмущения распространяются от фронта кристаллизации жидкости до задней стенки трубы и обратно возвращаются, в кристалле успевает устанавливаться система стоячих волн с частотами,

кратными основной частоте vx -a-, где а{- скорость звука в кристалле.

В силу малости H эти волны являются высокочастотными; они существуют как бы независимо от волн, распространяющихся в жидкости.

Поскольку кристалл все время находится в соприкосновении с жидкостью, то колебательное движение в кристалле передается жидкости. Таким образом, на вынужденные колебания жидкости, вызываемые медленным движением границы раздела фаз кристалл - жидкость, накладываются вынужденные колебания, вызываемые высокочастотными ударами кристалла о поверхность

жидкости. При этом колебательное движение в жидкости и в кристалле поддерживается за счет движения фронта кристаллизации.

Естественно, колебательное движение жидкости, в свою очередь, играет роль вынуждающей силы для кристалла.

Акустические волны, возникающие в жидкости и в кристалле, рассмотрим на примере кристаллизации воды в трубе, рассмотренном в [1].

Предположим, что оба конца трубы жестко заделаны и что изменением размера трубы под воздействием внутреннего давления можно пренебречь.

При движении фронта кристаллизации напряжения как в жидкости, так и в кристалле постепенно нарастают - происходит их сжатие.

На рис. 1 схематически показана картина кристаллизации воды: ист(х) и и1ст(х) - статические деформации жидкости и кристалла, х=%(?) - граница раздела фаз.

0 5(t) h

Рис. 1. Схема кристаллизации воды вдоль трубы.

Смещения ист(х) и и1ст(х), которые называются фазовыми деформациями, должны быть найдены на основе решения уравнений теории упругости при специальным образом сформулированных граничных условиях.

Пусть за промежуток времени dt фронт кристаллизации перемещается на 8%. При этом жидкая и твердая фазы получают бесконечно малые перемещения 8ист (х) и 8 и1ст:

8исп (х) =8ax + 8b, 0 £ x <% (1)

8и1ст(х) =8a 1 x + 8b1, % £x<h (2)

где 8a, 8a 1, 8b, 8b1, - произвольные постоянные, которые должны быть найдены из граничных условий. Первые два из этих условий имеют вид:

Цст(0)=0, И1ст(п)=0. (3)

Сформулируем теперь граничные уодовия при х= % (t). При этом функции % (t). меняются настолько медленно, что в каждый момент времени деформации uCTj u1CT являются квазистатическими.

При х = % (t). смещения частиц жидкости и кристалла происходят в разные стороны. В нашей системе координат 8ист(%) <0, 8и1ст(%) >0 и 8% <0 С учетом этих неравенств можем написать:

8ист (%) -8иХсп(%) = р8% (4)

где b - коэффициент объемного расширения жидкости при ее кристаллизации.

Кроме того, напряжения по обе стороны от границы раздела фаз должны быть равными

1 d(8ист\ = E d(8и!ст )

k dx I** 1 dx (5)

где k - коэффициент сжимаемости жидкости, Е1- упругий модуль плоской волны, который связан с модулем Юнга Е соотношением

E1= 1zE E

(i - 2m)(i+m)

где /а - коэффициент Пуассона.

Решения уравнений (1) и (2) при граничных условиях (3) - (5) принимают вид

8исп (х) =-bkECC-8%, 0 £ x <% (6)

8и1 (х) =- tyi + h) 8%, %£ x < h. (7)

Ph(x + h) kE%- (h -%)

Для определения суммарной деформации системы при перемещении фронта кристаллизации от х = h до х = % (t) нужно проинтегрировать (6) и (7) по % .

В результате после проведения соответствующих упрощений будем иметь:

исп (х) =- b(h-%)x, 0 £ x <% (8)

и1 (х)

i-Yi jj

kE I h

(x + h), %< x £ h. (9)

Колебательные движения кристалла, вызываемые движением фронта кристаллизации жидкости, описываются волновым уравнением

Э2и1 2 d3и1

= ai2b %< x <h (10)

dx dt

При этом начальные и граничные условия имеют вид:

u1(x,0)=u1t(x,o)=0 (11)

где

u1(%,t)=u1CT(% )=jb:(h2-%2) (12)

kE1h

u1(h)=0. (13)

Решение задачи (10) - (13) можно написать в виде

U1(x,t) = и1ст (х) -ЧтГТL~-- Jm si -, (14)

mkE1h m=i m H

т iV/ \ / ч r mma1

Jm= J%(T)COSm (t-t)dt; Vm =~HL

Колебания кристалла, описываемые равенством (14), создают на поверхности примыкающей к нему жидкости силу

F(t) = 2bh-1(- 1)mJ, cos (15)

В частном случае, когда скорость фронта кристаллизации задается формулой

%(t) = a *±

равенство (15) может быть записано в виде F(t)=

Y-- (cosVmt + sinVm )cos-, (16)

m=1 m k

где a = ,Jc(T0 - Tn)) 2L , (T0 - Tn)- разность температур фронта кристаллизации и

поверхности кристалла, L - удельная теплота кристаллизации жидкости, у1 -

коэффициент температурапроводности льда.

Акустические волны, возбуждающиеся в жидкости, состоят из суммы двух волн: u(x,t)= J(x,t) + W(x,t), где J(x,t) описывает волны, которые инициируются движением границы раздела фаз жидкость - кристалл, а W(x,t) описывает вынужденные колебания жидкости, возникающие под действием силы F(t).

Функция J (x,t) является решением волнового уравнения

d 2J 2 d J d J

dt2 dx2 dx2dt в котором n - кинематическая вязкость жидкости, и удовлетворяет начальным условиям J (x,0) = Jt(x,0) =0 и граничным условиям: J(0,t)=0; J (% ,t) Jcid ) Это решение можно написать в виде

J( x, t) = Цт(х) -

bakElX(2лУl )1/2 w

mh(1 + kE) n=1 wl-wl

-gnt e n

г g2 \

1 +n

n LV. n

Sin cot +

2g n g n

coscC sinmnx, 0 < x <%, (17)

. mn.

, sin-

где

y =-t ; - =Jco2 - y2; - = -

n 2a %

n=1,2,3,.....

Функция W(x,t) является решением неоднородного волнового уравнения

Э2W 2 Э2W F(t) гч

0<x<%

(18)

с однородными начальными и граничными условиями

W(x,t) = Wt(x,0)=0, W(0,t)=W( (%, t) = 0. Если пренебречь влиянием вязкости жидкости, то решение уравнения (18) можно написать в виде

W (x, t) =

2paHa2

na,H

Х 1 Х1

n=1 -n m=1 m

-... sinw t -m sin - t

m n n

- - -

c -c

(cos-mt - cos co t)

un% . n(2n + 1x) cos-- sin-

(19)

Основной вклад в W(x,t) вносят слагаемые, для которых -m -n. Поэтому, не совершая большой ошибки, в (19) выражение c m sinc nt можно заменить на c n sinc nt . В результате получим

W (x, t) = 4-i Ha 2

na,H

Х - Х--sin

n=1 -n m=1 -m --n

*sin -m--nt cospm% sinp(2n +1)x

- t - 4

При этом соответствующее давление P(x,t) определяется формулой

P (x, t) = -tL- (pa2)

na1H

n =1 m=1 m(-m - -

/ / П - - - nm% n(2n + 1)x xsin- t--) sin Ш: t cos--cos----

0 £x£%

Таким образом, вблизи резонансных частот с/ = соп мы имеем высокочастотные колебания с амплитудной модуляцией. На рис.2 схематически показан характер изменения P вблизи резонанса.

Рис. 2. Изменение амплитуды давления вблизи резонанса.

При учете вязкости решение уравнения (18) принимает вид

W ( x, t)

2baHa2

x sin

vma1H j

oo oo 1

n=1 m=1

Wm-Wn

cos-

m% m(2n +1) x

0 £ x £%,

где

Jmn = Jexp[- gn (t - t)] sinwn (t - t)dt.

(22)

После раскрытия интеграла (22), выражение (21) принимает вид:

W(x,t) = AYYvlcosKt + 8mn) + e~gn(cos+ Bmn sinwnt)]x

n=1 m=1 mW

mm% . m(2n +1)x Л^ e , .

xcos--sin ---, 0 £ x £%. (23)

H 2h

где

V2 2 -

Amn =(1 -1mn )2 + hl; Bmn = ~Г I1 - Xlin ) (hn + Kn )~ ;

4 -n

8 = arctg mn n mn A

8mn = arctg 1 2 я ; A

1 -X2 - 2h X Kp%e

Второе слагаемое в квадратных скобках правой части равенства (23) пренебрежимо мало по сравнению с первым слагаемым, описывающим вынужденные колебания. Давление, соответствующее этим колебаниям, равно

ч A a nm% , , ч n(2n + 1)x n <. P (x,t) =-->> -- cos--cos- t + 8 ) cos---, 0 < x<%.

A a m, -11-- cos- v . . /

(24)

Коэффициенты amn в теории колебаний называют коэффициентами

динамичности. Они характеризуют, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний соответствующих мод при резонансе превосходит статические смещения частиц под действием постоянной силы, равной по величине амплитуде соответствующей вынуждающей силы.

График зависимости amn от Xmn при резонансных значениях hn

приводится, например, в [2]. В резонансе величина

22 aa

V-J1 - hi -

а амплитуда давления

5/2 ( 271 Л1/2

n2%v4hm2

na1h

V a )

m = 1,2,... (25)

В случае кристаллизации воды (( = 0,1, a = 1,5 103м/с, a1 = - 103м/с,

..2/с. -2

y1 = 1,15 10 4 mz/c. При e = h = 0,1 м, H = 2 № м и m = 1 величина Pr

составляет (10 10-1) атм (Па) при скорости фронта кристаллизации порядка 1 мм/мин.

Частота колебаний основной моды при этом составляет 10° Гц.

Как видно из формулы (25), зависимость Pmax от толщины кристалла

с/2 nme

определяется произведением H cos-

которое осциллирует с

изменением Н.

Рассмотрим более подробно характер изменения функции P ( x, t). В начальный момент образования твердой фазы частоты nm велики, однако

соответствующие моды колебаний практически мгновенно затухают из-за вязкости жидкости. После истечения начального периода формирования устойчивого слоя кристалла, процесс его роста стабилизируется. Частоты колебаний cWm постепенно уменьшаются. В величину Pmax основной вклад вносит мода с частотой w1 (m =1).

По мере роста твердой фазы частоты wn и wm смещаются влево, но

при этом скорость смещения точки значительно больше, чем скорость смещения точек wn,wwn-1 и т.д. и точка wn обязательно будет совмещаться с

ближайщей точкой wn . Отсюда следует, что резонанс является неизбежным.

Зависимость P от t такая же, как зависимость коэффициента динамичности a 1n от hn. 0 При этом имеет место амплитудная модуляция.

Следующий резонанс наступает уже при совмещении точек w1 и wn-1

Найдем промежуток времени между двумя последовательными резонансными всплесками на основной частоте w1 .

В момент времени t сох = Hq, а через промежуток времени

At co[(t + dt) = h(Яа1д ). Разность этих двух частот должна равняться частоте ma

W1 = -, т.е.

1 1 = а = а

H (t) H (t + At) а% a1h

Принимая во внимание, что H(t) = 2cc-yjgt, отсюда получим

At 2aH(t)

At ~ t3/2.

aH .

Поскольку отношение -<< 1, то в начальный период

кристаллизации жидкости выбросы будут повторяться часто.

Таким образом, под влиянием высокочастотных колебаний кристалла , непосредственно примыкающего к кристаллизующейся жидкости, в последней возникают высокочастотные колебания с амплитудной модуляцией; основные частоты этих колебаний и амплитудные значения давления

примерно такие же, какие были измерены в [3]. Поэтому есть основание предполагать, что приведенная выше теория достаточно хорошо воспроизводит основные черты процесса возникновения акустического эффекта кристаллизации веществ.

Между тем в приведенной выше модели имеются два момента, которые с физической точки зрения могут вызывать возражения.

Первый момент связан с обращением в бесконечность скорости фронта кристаллизации при t = 0, что ведет к искусственному завышению пиковых

-1 -2

значений амплитуды давления до 10- -10- атм (Па).

Второй момент связан с тем, что собственные частоты колебаний Ttam

кристалла -m =- могут принимать сколь угодно большие значения при

малых Н.

Оба эти момента являются следствием идеализации математической постановки задачи. При более строгом учете условий кристаллизации жидкости и при учете влияния заслонки на правом конце трубы на процесс кристаллизации жидкости, оба момента, как показывают расчеты, легко устраняются: пиковые значения Р, полученные по формуле (25), уменьшаются примерно на порядок, а вместо Н выступает величина, примерно равная сумме H+H1, где H1 - толщина заслонки.

Список литературы.

1. Часть I работы.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Гостехиздат, 1955, т.2,595 с.

3. Задумкин С.Н., Хоконов Х.Б., Шокаров Х.Б. ЖЭТФ 1975, т. 68, вып. 4,

с. 1315.