ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕХМЕРНО-ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВИХРЕЙ В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

Шухман И. Г. (shukhman@iszf.irk.ru) (1), Левинский В. Б. (Vladimir.LevinskiOkla-tencor.com) (2)

(1) Институт Солнечно-Земной Физики РАН, Иркутск 664033, Россия, (2) Faculty of Aerospace Engineering, Technion, Haifa 32000, Israel1

1. Введение

Два основных типа когерентных вихревых структур, впервые наглядно представленных в экспериментах Кляйна и др. [1] с помощью методов визуализации потока, лежат в основе современных представлений о структуре турбулентного пограничного слоя.

Так, наличие в пристеночном течении областей, скорость которых в направлении вдоль потока существенно меньше, чем скорость окружающей жидкости (streaks), является результатом подъема жидкости из низкоскоростных пристеночных слоев, индуцируемое долгожи-вущими вихревыми структурами. Последние представляют из себя пару противоположно вращающихся вихрей, вытянутых вдоль направления потока [2, 3].

Второе характерное для турбулентного пограничного слоя явление, носящее ярко выраженный взрывообразный характер (bursts), является результатом быстрой эволюции вихря, имеющего шпилькообразную форму. При этом плоскость вихря составляет 45° с направлением потока [4], а характерное время жизни шпилькообразных вихрей составляет 5% от характерного времени развития стрика.

Механизмы эволюции данных вихревых структур и их взаимодействие между собой является предметом изучения все возрастающего числа исследователей (см. обзоры [5,6]).

Несмотря на то, что оба типа когерентных вихрей имеют одинаковую структуру типа вихревого диполя, их свойства, механизмы образования и развития существенно отличаются. Медленная эволюция пристеночных вихрей хорошо объясняется механизмом алгебраического роста, предложенного в работе [7] и развитого в дальнейшем в рамках концепции оптимальных возмущений в работах [8-10]. В свою очередь построение адекватной теоретической модели шпилькообразных вихрей осложняется высокой степенью локализованности завихренности, составляющей ядро шпилькообразного вихря и, как следствие этого, изначально сильно нелинейным характером их развития. Последнее подтверждается рядом экспериментов, где шпилькообразные вихри наблюдались только при переходе порогового значения некоторого параметра, соответствующего используемому в эксперименте механизму их генерации. Так в экспериментах [11], где генерация шпилькообразных вихрей производилась с помощью акустических возмущений, данные вихревые структуры наблюдались лишь начиная с некоторого критического значения амплитуды приложенного возмущения. В экспериментах [12] начальное возмущение создавалось путем отсоса жидкости в пристеночной области. При этом, как и в предыдущем случае, генерация шпилькообразных вихрей наблюдалась только при значениях скорости отсоса жидкости, превышающих некоторое критическое значение.

В силу данных обстоятельств представляет интерес анализ теоретической модели, описывающей эволюцию нелинейного локализованного вихревого возмущения во внешнем плоском сдвиговом потоке, предложенной впервые в работе [13] и в дальнейшем обобщенной на вращающиеся течения [14], течения слабопроводящей жидкости в магнитном поле [15] и стратифицированные течения [16]. В качестве характеристики завихренности в данной модели

1Present affiliation: KLA-Tencor Corporation, Migdal Ha Emeq 23100, Israel.

2/rxf (1.2)

предлагается использовать импульс Лэмба возмущения, определяемого как

р = \ j г х u){t, г) dV\ (1.1)

где u>(t, г) - мгновенное поле возмущения завихренности, а интегрирование производится по всему объему жидкости. Соответственно, динамика импульса Лэмба описывается уравнением

* = I [г * дшГ

dt Ч dt

где эволюционное уравнение для возмущенной завихренности в стационарном внешнем поле скорости (U) получается применением оператора ротора к уравнению Навье-Стокса и последующим вычитанием уравнения для невозмущенного потока:

- + (U V) о? - (о? V) U - (О V) и + (и V) о? - (о? V) и = Д о?. (1.3а) at -v-

Здесь О = curl U, а и обозначает поле скорости, индуцируемое возмущением,

ш = curlu. (1.36)

В силу инвариантности импульса Лэмба относительно самоиндуцированного движения вихревого возмущения [17], нелинейные члены (подчеркнутые в уравнении (1.3а)) дают нулевой вклад в (1.2). Последнее позволяет линеаризировать задачу об эволюции сильно нелинейного локализованного возмущения (подробное изложение данного подхода см. в [13,14]).

Импульс Лэмба завихренности также обладает дополнительным важным свойством. Именно, в силу своего определения (1.2) импульс Лэмба описывает как рост амплитуды, так и геометрический рост вихря. Последнее обстоятельство является очень важным вследствие того, что наблюдаемый в эксперименте рост шпилькообразных вихрей не обязательно связан с ростом амплитуды завихренности. Такой сценарий развития локализованного вихря может не описываться в рамках классической теории неустойчивости, где фиксируется изменение амплитуды возмущения.

Наиболее важным результатом, полученным на основе импульса Лэмба, является предсказание экспоненциальной неустойчивости локализованного вихревого возмущения в плоском течении Куэтта [13,14]. Данный результат позволяет объяснить наблюдаемое в эксперименте образование и быстрое развитие шпилькообразных вихрей в пограничном слое как результат неустойчивости плоского сдвигового течения по отношению к локализованным вихрям, образующимся на неоднородностях стенки. Приложение данного подхода к круговому течению Куэтта [12,14] позволило получить критерий, устанавливающий параметры этого течения, при которых происходит развитие шпилькообразных вихрей в данном течении. Полученный критерий подтвержден результатами экспериментов [12].

Вместе с тем, в силу того что предложенная в [13,14] процедура получения замкнутого эволюционного уравнения для импульса Лэмба не содержит формальных ограничений на амплитуду начального возмущения, данный результат противоречит результатам классической линейной теории устойчивости для течения Куэтта [17].

Целью данной работы является анализ эволюции локализованного вихревого возмущения в рамках линейной теории устойчивости на основе построения полного поля завихренности. Этот подход свободен от недостатков описания эволюции вихря с помощью импульса Лэмба, однако, он, к сожалению, не позволяет продвинуться в область сильных (нелинейных) вихрей аналитическими методами. Вместе с тем развиваемый в работе подход позволяет проанализировать обоснованность допущений, сделанных в [13,14] при построении замкнутого

эволюционного уравнения для импульса Лэмба. Более того, построение полного поля завихренности в координатном пространстве для произвольного момента времени дает основу для построения и анализа и других интегральных характеристик завихренности, которые могут быть использованы при численных расчетах эволюции сильно нелинейных вихрей.

Структура статьи такова.

В § 2 мы подвергаем критическому анализу концепцию импульса Лэмба, предложенную в [13,14], и на основании точного решения линеаризованной задачи (пока только в фурье-представлении) демонстрируем ее несостоятельность для данной постановки задачи (т.е. задачи об эволюция вихря на фоне течения с линейным профилем скорости).

В § 3 на основании найденного выше (в § 2) точного решения в k-представлении с помощью обратного преобразования Фурье строится поле завихренности в координатном пространстве (разумеется, в линейном приближении). На примере, когда в качестве затравочного (начального) возмущения выступает так называемый гауссовский вихрь , прослеживается линейная эволюция вихря для некоторых частных случаев его начальной ориентации. Показано, в частности, что свойства симметрии базовых уравнений запрещают образование шпилек в рамках линейной задачи, что диктует неизбежность перехода к численному исследованию нелинейной эволюции вихря.

В § 4 вводится понятие полной энстрофии вихря как меры его интенсивности. Исследован вопрос о характере усиления (ослабления) вихря в зависимости от его начальной ориентации.

В § 5 мы переходим от описания вихря с помощью его полного поля завихренности к описанию с помощью вводимой нами новой интегральной характеристики - тензора распределения энстрофии (Tensor of Enstrophy Distribution, TED). Эта интегральная характеристика позволяет описывать вихрь с помощью всего шести независимых параметров (а в случае вихрей, симметричных относительно плоскости z = 0, даже всего четырех).

В § 6 обсуждаются полученные результаты и возможные дальнейшие направления работы.

В Приложении А детально обсуждаются свойства модифицированного импульса Лэмба (в частности доказана его инвариантность относительно выбора центра сферы, связь с фурье-образом завихренности и т.п.).

В Приложении В приведены довольно громоздкие аналитические выражения для компонент тензора TED.

2. Эволюция импульса Лэмба. Точное решение линейной начальной задачи для поля завихренности в к-пространстве

2.1 Определение модифицированного импульса Лэмба завихренности

Непосредственно из определения импульса Лэмба вихря (1) следует, что он существует и хорошо определен только при условии

(г) < ---, где б > 0. (2.1)

Изначально локализованное возмущение индуцирует поле скорости, обладающее асимптотическим поведением [18]

u(* = 0;r) - . (2.2)

подстановка (2,2) в (1.3) позволяет получить, что генерируемое в произвольный момент времени t > 0 вихревое поле имеет асимптотику

И*,г)~, (2-3)

что не удовлетворяет условию (2.1).

предложенная в [13] процедура разделения завихренности позволяет формально обойти данную проблему. именно, поле завихренности возмущения разделяется на замкнутое поле завихренности, сконцентрированное в области, непосредственно примыкающей к начальному вихревому возмущению (о/), и поле завихренности, включающее в себя вихревые хвосты, образующиеся в процессе эволюции начального вихревого возмущения (а/1). при этом предполагается что из1 описывает эволюцию шпилькообразного вихря, а ш11 представляет из себя вихревое облако не оказывающее существенного влияния на эволюцию концентрированной завихренности.

так как дальнейший анализ базируется на точном решении линеаризированных уравнений динамики завихренности и не предполагает дополнительных допущений, целесообразно ввести понятие импульса лэмба вихря, не прибегая к процедуре разделения завихренности. последнее, в частности, позволит проанализировать адекватность процедуры используемой в [12-16]. определим с этой целью модифицированный импульс лэмба, а именно,

p(t) = lim I / rxw(t,r)dV, (2.4)

Я-s-oo A Jr<R

определение (2.4) имеет силу как в случае начального возмущения с бесконечно малой амплитудой так и в сильно нелинейном случае. единственным ограничением является лока-лизованность возмущения в начальный момент времени, что соответствует существованию импульса лэмба для начального распределения завихренности.

так как в дальнейшем решение уравнений для динамики завихренности строится в фурье-пространстве, то мы будем использовать фурье-аналог определения модифицированного импульса лэмба, а именно, определяя фурье-преобразование от поля завихренности как

w(*,k) = (2?r)~d у dVu{t,r)e-lkl. (2.5)

тогда, как показано в приложении а, модифицированный импульс лэмба (2.4) может быть представлен в виде1

p(t) = г (2тт)3 lim(Vk х w(*,k)), (2.6)

к->0

1Напомним, что в случае когда завихренность из спадает к периферии достаточно быстро, так что существует импульс Лэмба в обычном смысле, он может быть представлен как предел ротора фурье-образа завихренности в к-пространстве,

р = (2тг)3 lim vk х ui(t, к)],

и этот предел также существует в обычном смысле, т.е. не зависит от способа стремления к к нулю. Однако, если завихренность падает только как ui ~ г|-4, как в нашем случае, предел к -> 0 в обычном смысле не существует. Он, например, может зависеть от направления луча в к-пространстве, по которому мы приближаемся к точке к=0. Именно поэтому, при попытке выразить МИЛ через фурье-образ завихренности, мы должны обязательно выяснить и указать, какому именно способу предельного перехода к -> 0 это соответствует. В данном случае это соответствует процедуре, которая состоит в том, что мы предварительно усредняем соответствующее выражение по сфере в k-пространстве, а лишь затем устремляем к = к| к нулю. Ниже (п.2.2.3) мы увидим, что при другом способе модификации импульса Лэмба, возникает и иной способ предельного перехода к -> 0.

Заметим также, что при вычислении импульса Лэмба через Фурье-образ завихренности в к-пространстве,

где угловые скобки означают усреднение по углам в к-пространстве:

( ) = -/ сов Р dp #( ), (2.7)

47Г J-7T/2 JO

а Р и ф - сферические углы в к - пространстве (с осью у в качестве вертикальной оси и плоскостью (xz) соответствующей /3 = 0):

кл = к cos Р cos ф, к-2 = к sin р, к3 = к cos р sin ф. (2.8)

Можно показать (см. Приложение А), что таким образом введенный модифицированный импульс Лэмба на первый взгляд достаточно хорош .

Во-первых, он, действительно, удовлетворяет необходимому требованию инвариантности относительно выбора положения центра сферы.

Следует, однако отметить, что в нашем случае, когда завихренность спадает к периферии только как ~ г|-4 (и импульс Лэмба в обычном смысле не существует), поле скорости u(r) на больших расстояниях уже перестает быть потенциальным, и, в частности, оно больше не может быть представлено в привычном дипольном виде

u = -Lcurl (А^) +0(1/г4 4ж \ г3 1

даже если в качестве р выступает модифицированный импульс Лэмба р (см. подробнее Приложение А).

Это означает, в частности, что МИЛ совершенно не отражает дипольную структуру поля завихренности в вихре. Как мы действительно покажем ниже, плоскость локализации вихревого движения, т.е. энстрофии, L = u?(r)2, вовсе не перпендикулярна направлению МИЛ, как это было бы в случае обычного вихревого (или магнитного) диполя. (Можно, однако показать, что и в этом случае скорость по-прежнему спадает к периферии обратно пропорционально кубу расстояния, u ~ г| 3, как и в случае потенциального поля скорости.)

Во-вторых, можно показать, что интеграл (2.4) существует в любой момент времени при условии, что он определен в начальный момент времени, и его значение для достаточно больших значений R не зависит от величины R.

Действительно, беря производную от выражения (2.4) по времени и подставляя (1.3) в правую часть, получаем

Д = -Нш1 / г х [(UV) ш - (wV) U - (OV) ul dV, (2.9)

dt z Roo Jr<R 1 J

Заметим что в (2.9) отсутствуют вклады нелинейного и вязкого членов (ср. с (1.3)). Интеграл по объему от данных членов может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Последний равен нулю в силу асимптотического поведения завихренности u?(r,£) и, соответственно, индуцируемого им поля скорости u(r, t) при R - сю.

Представим подынтегральное выражение в покомпонентной записи в декартовых координатах и преобразуем его к виду

UjkXj [Ui---щ ---ill j = UjkXj \Ui(--h - ) - -{uJiUi +ihui)\

v dxi dxi oxi1 L v oxi oxkJ oxiv /J

нам достаточно знания поведения этой завихренности только вблизи к = 0 (точнее знания ее первых производных по компонентам вектора к при к=0). Это и означает, что при описании вихря с помощью этой характеристики мы не нуждаемся в детальном знании полного поля завихренности. Поэтому в теории [13,14] совершенно не имело никакого значения устройство начального вихря. Достаточно было задать его начальный импульс Лэмба.

Здесь €ф - единичный кососимметричный тензор третьего ранга и под повторяющимися индексами подразумевается суммирование. Таким образом

= -I lim \eljk [ XjUt (f + dV + eljk [ Xj {шМ + dV] (2.10) dt 2я-ихД jr<R dxt dxk; jr<R dXi Iх'

Второй интеграл в правой части (2.10) равен нулю при интегрировании по объему шара. Интегрирование по частям и тождественные преобразования позволяют привести выражение (2.10) к следующему виду

где

2R дх J hihjhmjJk,-k:>; Ji 4iR дх J J J

В силу асимптотического поведения завихренности сумма J + J + J конечна и не зависит от величины R. Этот факт в совокупности с (2.11) доказывает, что если МИЛ существует в начальный момент времени, то он существует и в произвольный момент времени.

Таким образом, только что введеный нами МИЛ, выглядит, на первый взгляд, достойной заменой импульсу Лэмба ядра , введенному в [13,14] для описания эволюции локализованного вихря, поскольку не требует не очень хорошо обоснованной процедуры расщепления поля завихренности, использованной в [13,14].

Однако, ниже мы покажем, что любая модификация импульса Лэмба является неудовлетворительной с точки зрения возможности описания с помощью нее структуры вихря.

В уравнении (2.11) первые два члена представляют из себя полученное в [13,14] эволюционное уравнение для компонент импульса Лэмба, построенного на основе замкнутого поля завихренности1 и/, в то время как оставшиеся 3 члена описывают специфический вклад вихревых хвостов.

Это обстоятельство означает, что построение замкнутого уравнения, описывающего эволюцию импульса Лэмба (и из которого в [13,14] следовал вывод об экспоненциальной неустойчивости) без того или иного способа разбиения завихренности невозможно.

Поэтому далее мы попытаемся дать альтернативное описание эволюции локализованного вихря, не прибегая к эволюционному уравнению для импульса Лэмба. Используя полученное решение для компонент завихренности, мы сможем также вычислить и импульс Лэмба и проверить, насколько решение, описывающее эволюцию импульса Лэмба, полученное в [13,14], согласуется с тем, что следует из нашего решения.

Подчеркнем, что это базовое уравнение работ [13,14] является линейным, несмотря на то что оно выведено из точной нелинейной системы уравнений (1.3) без привлечения процедуры линеаризации. Это означает, что предложенная в [13,14] теория, фактически, претендует на возможность описания не только слабых, но и сильных (нелинейных) вихрей.

Иными словами эта теория является нечувствительной к амплитуде вихревого возмущения!

Этот факт с одной стороны делает ее крайне привлекательной, что, собственно, и инициировало проведение на ее основе ряда изящных экспериментов, а с другой стороны, если она верна, ее предсказания должны оставаться справедливыми и для слабых вихрей. Но для слабых вихрей мы имеем возможность существенно упростить задачу, проведя предварительную линеаризацию исходной системы. Это позволяет получить точное решение для поля завихренности и на его основе проверить справедливость теории.

В частности, именно такая возможность проверки теории [13,14] и послужила мотивацией к проведению данного исследования.

2.2 Эволюция локализованного вихревого возмущения в плоском течении Куэтта

Наш подход к анализу эволюции локализованного возмущения базируется на предположении, что его динамика определяется локальным полем скорости вокруг вихревого возмущения. Соответственно, влияние вязкости, граничных условий и деталей внешнего потока в областях достаточно удаленных от начального возмущения предполагается вторичным. Сформулированная таким образом проблема описания эволюции локализованного возмущения предполагает поиск подходов описания, альтернативных классическим подходам, базирующимся на методе нормальных мод или использующих преобразование Лапласа по времени для возмущенной завихренности.

Заметим, что в обоих данных подходах возмущение представляется в виде волнового пакета составленного из волновых мод, соответствующих дискретному спектру или комбинации дискретного и непрерывного спектра. При этом свойства поля завихренности для каждой отдельно взятой моды существенным образом определяются граничными условиями и поведением внешнего потока во всем объеме течения. Более того асимптотическое поведение волновых решений не соответствует асимптотическому поведению локализованного вихревого возмущения (6).

Однако, возможен и иной подход к решению начальной задачи (initial problem). Основы этого подхода были заложены еще лордом Кельвином [19] в 1887 году1. В таком подходе существенно используется одно упрощающее обстоятельство, а именно, линейность профиля скорости базового течения. Это позволяет найти точное решение линеаризованной начальной задачи с помощью перехода к лагранжевым переменным (в к -пространстве) и не требует использования преобразования Лапласа по времени или разложения решения по нормальным модам.

2.2.1 Решение начальной задачи для локализованного возмущения

Будем считать, что базисное течение имеет линейный профиль скорости, U = (-Qy, 0,0) (так что его завихренность О = (0,0,О)). Подчеркнем, что данный выбор не является ограничением общности вследствие предположения о локальности возмущения. Он соответствует случаю, когда характерные размеры возмущения много меньше характерного размера изменения базисного поля скорости. В этом случае невязкое линеаризированное уравнение для динамики завихренности может быть представлено в покомпонентной записи в декартовых координатах в следующем виде

где в уравнении (2.12а) - и>2 + dv,i/dz заменено на ди3/дх, а нижние индексы 1 , 2 и 3 означают х, у и z-компоненты векторов соответственно. Вводя безразмерное время т = Ш и

1 См. также более современные работы, в основе которых лежит этот метод, например, [20,21].

совершая Фурье-преобразование системы уравнений (2.12) получаем 1

~а~ + --гкгщ = 0, (2.13а)

От ок2

+ *1- *з 2 = 0, (2.136)

От ок2

дш3 дш3 /q ,

л- + -- fe3M3 = 0, (2.13с)

От ок2

где (k, t) представляют из себя компоненты Фурье-образа возмущенного поля скорости u(r,t).

Заметим, что в силу асимптотического поведения поля скорости локализованного возмущения u(r,t) ~ 1/г|3, величина мДк, £) может иметь особенности при асимптотически малых значениях волнового вектора k - 0. Чтобы избежать связанных с этим математических проблем, мы применяем схему решения уравнения динамики для поля скорости, предложенную в [20], к уравнениям динамики для поля завихренности. В этом случае в уравнения входят только производные поля скорости по пространственным координатам.

Перейдем от набора независимых переменных т, k2, k3 к новому набору независимых переменных т, ki, q, k3, где q = k2 - k\T. Будем рассматривать теперь u>i как функцию т, q, к3, то есть щ = w,(r, g, k3) Таким образом, новая переменная q - это просто начальное значение изменяющейся со временем компоненты волнового вектора к2:

k2(t)=q + k1T. (2.14)

Будем называть новый набор переменных лагранжевыми координатами в к-пространстве. Переход к лагранжевым координатам позволяет преобразовать систему уравнений (2.13) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

~d~r ~ Щт) Wl ~ klU)2 = ° (2.15а)

du)2 к2(т (1т к2 (т

duj3 к3

d,T к2 (т где

[fe2(r)wi-feiw2]+wi = 0, (2.156)

[к2(т)ш1-к1ш2]=0, (2.15с)

к2(т) = к! + [к2(т)}2 + к1

d/ov = (д/дт\ = (д/дт)к2 + кг(д/дк2)т

есть полная производная по времени вдоль траектории в к-пространстве.

При выводе (2.15) мы также выразили фурье-компоненты поля скорости через фурье-компоненты поля завихренности

к х о? (к) ,

и(к)=г-(2.16)

1 Далее будем считать, что О > 0, т.е. dU/dy < 0. Хотя в приводимых ниже выражениях не запрещена возможность полагать и О < 0. Просто в этом случае придется считать, что безразмерное время т = Ш варьируется в области отрицательных значений, т < 0.

Из (2.15а) и (2.15Ь) непосредственно следует сохранение вдоль траектории величины к3и)\ - к\ш3, т.е.

(кзШ1 - к1Шз) = 0. (2.17)

Таким образом величина к3ш\ - кгш3 (которая есть не что иное, как фурье-образ лапласиана вертикальной компоненты скорости, Аи2) может быть представлена в виде

к3Ш1 - кгш3 = fQ(kuq, к3), (2.18)

причем, функция f0(ki,q,k3) не зависит от времени и определяется только значениями компонент завихренности их и ш3 в начальный момент времени. Из (2.18) и из уравнения непрерывности для завихренности

kiLOi + к2ш2 + к3ш3 = 0 (2.19)

можно выразить компоненты их и ш3 через значение вертикальной компоненты завихренности Ш2\

fci(g + fcir) к3

шх =--=-u2 + - fQ. (2.20а)

к3(д + кгт) ki

ш3 =----ш2 - -= /о, (2.206)

где р = y/kj+kj.

Подстановка (2.20) в (2.15а) дает

-fctk/o- (2-21)

Непосредственное интегрирование уравнения (2.21) по времени, подстановка полученного выражения в соотношения (2.20) и использование тождественных алгебраических преобразований позволяет записать общее решение уравнений динамики завихренности ш(т, к) в виде:

Ш1(т, к) = од (0, Q) - % ти2(0, Q) + V(t, к) Т(т, к), (2.22а)

р2 р

ш2(т, к) = ш2(0, Q) - V(t, к) Т(т, к), (2.226)

ш3(т, к) = ш3(0, Q) - тш2(0, q) + Щ- V(t, к) Т(т, к). (2.22с)

р К\р

Здесь

Q = {ъ.,Яз,Чг) = (ki,q,k3)

есть начальное значение волнового вектора, которое в (2.22) должно быть выражено через к: Q = (ki,k2 - kiT,k3),

V(r,k) = (l/p2)[k3u;l(0,Cl) - fciW3(0,Q)], (2.23)

Т(т, k) = arctan(fe2/p) - arctan[(fe2 - kir)/p], (2.24)

w(0,k) = ш(т = 0,k)

- начальное значение фурье-образа вектора завихренности.

В дальнейшем будем использовать в качестве начального вихревого возмущения гауссов-ский вихрь

ш(т = 0, г) = VF х /л, (2.25а)

где

F = (ж1/25)-3 ехр(-г2/52). (2.256)

Для численного нахождения полей всех гидродинамических величин (с помощью пакетов программ трехмерной гидродинамики) часто необходимо задать также и начальное поле скорости. Его несложно вычислить даже для произвольной изотропной функции F(r):

и = F{r)[ii--\ - - [ --(2.25с)

где H(r) = JqF(x) х2 dx. Для гуссовского вихря с F(r) вида (2.25Ь) функция Н(г) выражается через интеграл вероятностей

H(r) = -\rF{r) + erf (г), (2.25d)

где erf (г) = 2/л/я:/0г! exp (-t2) dt. Заметим, что в центре, г = 0, скорость отлична от нуля, u(0) = tF(0), а при г > S, поле скорости, как это и должно быть в случае хорошо локализованного распределения завихренности (2.25Ь), является потенциальным:

1 Г.. 3r(r)l , -4ч

Итак, имеем в k-представлении для вихря (2.25)

г

(0,к) = (к х у.) ехр(-№). (2.26)

Заметим, что для вихря (2.25) в начальный момент времени (но только в начальный!) хорошо определен и обычный импульс Лэмба р, который здесь просто равен ц\

р = j г х ш(0, г) dV = ц.

Для дальнейшего весьма удобно также перейти к сферическим координатам в Q - пространстве:

<li(= ki) = Q cos Д) cos q2 = Qsm/30, g3(= k3) = Q cos/30 sin ф,

- тг < pQ < тг, 0 < ф < 2тг.

В этих переменных запишем окончательно для гауссовского вихря (в наиболее удобной форме, через сферические координаты лагранжевых переменных Q):

шг(т,к) = щ-3рехр(-262)Сг(г;Ф) (2.27)

Ci = А*з tan р0 - \i2 sin ф - т со$2ф {hi sin ф - ц3 cos ф) - tan /3 cos ф Q, (2.28)

С2 = ц\ sin ф - ц3 совф + Q, (2.29)